线性代数讲义：线性映射（Linear Maps）

本讲义基于复习笔记整理，涵盖线性映射的核心概念、定理、性质及应用，同时补充英文术语和示例以深化理解。所有向量空间 $U, V, W$ 均定义在数域 $\mathbb{F}$ 上（$\mathbb{F}$ 通常为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。

2.1 线性映射的定义（Definition of Linear Map）

核心概念

线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的 “保持线性结构” 的映射，需满足两个关键条件：

可加性（Additivity）：对任意 $v_1, v_2 \in V$，有 $T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$；
齐次性（Homogeneity）：对任意 $v \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb{F}$，有 $T(\lambda v) = \lambda T(v)$。

英文术语

线性映射：Linear Map / Linear Transformation
可加性：Additivity
齐次性：Homogeneity

2.2 线性映射的例子（Examples of Linear Maps）

以下是常见的线性映射，均满足 “可加性 + 齐次性”：

1. 零映射（Zero Map）

记为 $0: V \to W$，定义为 $0(v) = 0_W$（对所有 $v \in V$），即把 $V$ 中所有向量映到 $W$ 的零向量。

例：$0: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$，$0(x,y) = (0,0,0)$。

2. 恒等映射（Identity Map）

记为 $I_V$ 或 $id_V: V \to V$，定义为 $I_V(v) = v$（对所有 $v \in V$），即保持向量不变。

例：$I_{\mathbb{R}^3}(x,y,z) = (x,y,z)$。

3. 微分映射（Differentiation Map）

记为 $D: C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R})$（$C^\infty(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上无穷次可微函数空间），定义为 $D(f) = f’$（函数的导数）。

验证线性性：$D(f + g) = (f+g)’ = f’ + g’ = D(f) + D(g)$，$D(\lambda f) = (\lambda f)’ = \lambda f’ = \lambda D(f)$。

4. 赋值映射（Evaluation Map）

记为 $ev_a: C^0(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$（$C^0(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上连续函数空间），定义为 $ev_a(f) = f(a)$（在点 $a \in \mathbb{R}$ 处的函数值）。

例：$ev_1(f) = f(1)$，若 $f(x) = x^2$，则 $ev_1(f) = 1$。

5. 积分映射（Integration Map）

记为 $J: C^0([a,b]) \to \mathbb{R}$（$[a,b]$ 是有界区间），定义为 $J(f) = \int_a^b f(t)dt$。

验证线性性：$J(f + g) = \int_a^b (f+g)dt = \int_a^b fdt + \int_a^b gdt = J(f) + J(g)$，$J(\lambda f) = \lambda \int_a^b fdt = \lambda J(f)$。

6. 矩阵乘法映射（Matrix Multiplication Map）

对 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，定义 $T_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 为 $T_A(v) = Av$（$v$ 按列向量计算）。

例：$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}$，则 $T_A(x,y) = (x + 2y, 3x + 4y)$。

7. 基坐标映射（Basis Coordinate Map）

记为 $[\cdot]_B: V \to \mathbb{F}^n$（$B$ 是 $V$ 的一组基，$\dim V = n$），定义为将 $v \in V$ 映为其在基 $B$ 下的坐标向量。

例：$V = \mathbb{R}^2$，基 $B = {(1,1), (0,1)}$，则 $v = (2,3) = 2(1,1) + 1(0,1)$，故 $[v]_B = (2,1)$。

重要备注（Key Remarks）

对任意线性映射 $T: V \to W$，必有 $T(0_V) = 0_W$（令可加性中 $v_1 = v_2 = 0_V$，或齐次性中 $\lambda = 0$ 可证）；
对任意 $v \in V$，必有 $T(-v) = -T(v)$（令齐次性中 $\lambda = -1$，则 $T(-v) = T((-1)v) = -1 \cdot T(v) = -T(v)$）。

2.3 线性映射空间 $L(V, W)$ 与线性算子（Linear Operator）

核心定义

：表示所有从到的线性映射构成的集合，即 $L(V, W) = { T \mid T: V \to W \text{ æ¯çº¿æ§æ å°} }$。
：当 $V = W$ 时，记 $L(V) = L(V, V)$，其中的元素称为线性算子（Linear Operator）（即从向量空间到自身的线性映射）。

关键性质（Key Properties）

**** 是向量空间：在 $L(V, W)$ 上定义 “加法” 和 “数乘”：
- 加法：对 $T_1, T_2 \in L(V, W)$，定义 $T_1 + T_2: V \to W$ 为 $(T_1 + T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v)$；
- 数乘：对 $T \in L(V, W)$ 和 $\lambda \in \mathbb{F}$，定义 $\lambda T: V \to W$ 为 $(\lambda T)(v) = \lambda T(v)$。
  
  可验证：$T_1 + T_2$ 和 $\lambda T$ 均为线性映射，且 $L(V, W)$ 满足向量空间的所有公理。
线性映射由基上的值完全确定：对任意线性映射 $T \in L(V, W)$，若已知 $T$ 在 $V$ 的一组基 $B = {v_1, v_2, \dots, v_n}$ 上的取值 $T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$，则对任意 $v \in V$（可表示为 $v = a_1v_1 + \dots + a_nv_n$），有：

$
T(v) = T(a_1v_1 + \dots + a_nv_n) = a_1T(v_1) + \dots + a_nT(v_n)
$

即 $T$ 在所有向量上的取值均被基上的取值唯一确定。

英文术语

线性映射空间：Space of Linear Maps（记为 $L(V, W)$）
线性算子：Linear Operator（记为 $L(V)$）

2.4 线性映射的复合与多项式（Composition & Polynomial of Linear Maps）

1. 线性映射的复合（Composition of Linear Maps）

定义

设 $T \in L(V, W)$，$S \in L(W, U)$，则复合映射 $S \circ T: V \to U$ 定义为 $(S \circ T)(v) = S(T(v))$（先作用 $T$，再作用 $S$）。

关键性质

复合是线性映射：$S \circ T \in L(V, U)$（可通过可加性和齐次性验证）；
结合律（Associativity）：对 $T \in L(V, W)$，$S \in L(W, U)$，$R \in L(U, X)$，有 $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$；
分配律（Distributivity）：
- 左分配：$R \circ (S + T) = R \circ S + R \circ T$（若 $S, T \in L(V, W)$，$R \in L(W, U)$）；
- 右分配：$(S + T) \circ R = S \circ R + T \circ R$（若 $R \in L(V, W)$，$S, T \in L(W, U)$）。

2. 线性算子的多项式（Polynomial of a Linear Operator）

定义

设 $T \in L(V)$（线性算子），$f(x) = a_kx^k + \dots + a_1x + a_0 \in \mathbb{P}(\mathbb{F})$（$\mathbb{P}(\mathbb{F})$ 是 $\mathbb{F}$ 上的多项式空间），则 $f(T)$ 定义为：

$
f(T) = a_kT^k + \dots + a_1T + a_0I_V
$

其中：

$T^0 = I_V$（零次复合，即恒等算子）；
$T^1 = T$（一次复合，即算子本身）；
$T^n = T \circ T \circ \dots \circ T$（$n$ 次复合，$n \geq 2$）。

示例

设 $T \in L(\mathbb{R}^2)$，$T(x,y) = (y, 0)$（投影到 x 轴的算子），$f(x) = x^2 + 2x + 3$，则：

$T^2 = T \circ T$：$T^2(x,y) = T(T(x,y)) = T(y,0) = (0,0)$（零算子）；
$f(T) = T^2 + 2T + 3I_V$：$f(T)(x,y) = (0,0) + 2(y,0) + 3(x,y) = (3x + 2y, 3y)$。

英文术语

复合映射：Composition of Linear Maps
线性算子的多项式：Polynomial of a Linear Operator

2.5 零空间与值域（Null Space & Range）

核心定义

设 $T \in L(V, W)$：

零空间（Null Space）：又称核（Kernel），记为 $\text{Null } T$，是 $V$ 中被 $T$ 映为 $0_W$ 的所有向量的集合：

$
\text{Null } T = { v \in V \mid T(v) = 0_W }
$

值域（Range）：又称像（Image），记为 $\text{Range } T$，是 $W$ 中所有能被 $T$ 映到的向量的集合：

$
\text{Range } T = { T(v) \mid v \in V }
$

关键定理（Key Theorems）

子空间性质：$\text{Null } T$ 是 $V$ 的子空间，$\text{Range } T$ 是 $W$ 的子空间（需验证封闭性、含零向量）；
单射与零空间的关系：$T$ 是单射（Injective）（即 $T(v_1) = T(v_2) \implies v_1 = v_2$），当且仅当 $\text{Null } T = {0_V}$；
满射与值域的关系：$T$ 是满射（Surjective）（即 $\text{Range } T = W$），当且仅当 $\text{Range } T = W$。

重要应用：$\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 的线性映射与矩阵

对任意 $T \in L(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)$，必存在唯一矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，使得 $T(v) = Av$（$v$ 为列向量）。其中 $A$ 的构造的：

设 $\mathcal{E} = {e_1, e_2, \dots, e_n}$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的标准基（$e_i$ 是第 $i$ 个分量为 1、其余为 0 的向量），则 $A = \left( T(e_1) \mid T(e_2) \mid \dots \mid T(e_n) \right)$（即 $A$ 的第 $i$ 列是 $T(e_i)$）。

基于此，可推导以下结论：

单射与矩阵列线性无关：$T$ 是单射 $\iff \text{Null } T = {0_V} \iff A$ 的列向量线性无关；
满射与矩阵列张成空间：$T$ 是满射 $\iff \text{Range } T = \mathbb{F}^m \iff A$ 的列向量张成 $\mathbb{F}^m$（即 $A$ 的列秩为 $m$）；
线性方程组的通解：线性方程 $Ax = b$（$A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，$b \in \mathbb{F}^m$）的通解为 $\text{Null } T + x_0$，其中 $x_0$ 是 $Ax = b$ 的一个特解（即 $T(x_0) = b$）；
矩阵的秩与值域维数：矩阵 $A$ 的秩（rank $A$）等于 $\dim \text{Range } T$，也等于 $A$ 的列空间维数（$\dim \text{Col}(A)$）。

示例

设 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y,z) = (x + y, y + z)$，对应的矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$：

$\text{Null } T$：解 $Ax = 0$，得 $x = -z$，$y = -z$，故 $\text{Null } T = { (-t, -t, t) \mid t \in \mathbb{R} }$（是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，$\dim 1$）；
$\text{Range } T$：$A$ 的列向量 $(1,0)$ 和 $(1,1)$ 张成 $\mathbb{R}^2$，故 $\text{Range } T = \mathbb{R}^2$（是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，$\dim 2$）；
方程组 $Ax = (1, 1)$：特解 $x_0 = (1, 0, 1)$，通解为 $(1 - t, -t, 1 + t) \mid t \in \mathbb{R}$（即 $\text{Null } T + x_0$）。

英文术语

零空间 / 核：Null Space / Kernel（记为 $\text{Null } T$）
值域 / 像：Range / Image（记为 $\text{Range } T$）
单射：Injective（One-to-One）
满射：Surjective（Onto）
矩阵的秩：Rank of a Matrix（记为 rank $A$）

2.6 线性映射基本定理（零化度 - 秩定理）（Fundamental Theorem of Linear Maps / Nullity-Rank Theorem）

核心定理

设 $V$ 是有限维向量空间（$\dim V < \infty$），$T \in L(V, W)$，则：

$
\dim V = \dim (\text{Null } T) + \dim (\text{Range } T)
$

其中：

$\dim (\text{Null } T)$ 称为 $T$ 的零化度（Nullity）；
$\dim (\text{Range } T)$ 称为 $T$ 的秩（Rank）。

证明思路

设 $\dim (\text{Null } T) = m$，取 $\text{Null } T$ 的一组基 $B_1 = {v_1, \dots, v_m}$；
将 $B_1$ 延拓为 $V$ 的一组基 $B = {v_1, \dots, v_m, v_{m+1}, \dots, v_n}$（$\dim V = n$）；
证明 $B_2 = {T(v_{m+1}), \dots, T(v_n)}$ 是 $\text{Range } T$ 的一组基：

张成性：对任意 $w \in \text{Range } T$，存在 $v \in V$ 使 $w = T(v)$，而 $v = a_1v_1 + \dots + a_nv_n$，故 $w = a_{m+1}T(v_{m+1}) + \dots + a_nT(v_n)$（因 $T(v_1) = \dots = T(v_m) = 0_W$）；
线性无关：若 $c_{m+1}T(v_{m+1}) + \dots + c_nT(v_n) = 0_W$，则 $T(c_{m+1}v_{m+1} + \dots + c_nv_n) = 0_W$，故 $c_{m+1}v_{m+1} + \dots + c_nv_n \in \text{Null } T$，进而 $c_{m+1} = \dots = c_n = 0$。

因此 $\dim (\text{Range } T) = n - m$，故 $\dim V = m + (n - m) = \dim (\text{Null } T) + \dim (\text{Range } T)$。

重要推论（Corollaries）

维数与单射 / 满射的关系：

若 $\dim V > \dim W$，则任意 $T \in L(V, W)$ 必不是单射（因 $\dim (\text{Range } T) \leq \dim W < \dim V$，故 $\dim (\text{Null } T) = \dim V - \dim (\text{Range } T) > 0$，即 $\text{Null } T \neq {0_V}$）；
若 $\dim V > \dim W$，则任意 $S \in L(W, V)$ 必不是满射（因 $\dim (\text{Range } S) \leq \dim W < \dim V$，故 $\text{Range } S \neq V$）。

矩阵的零化度 - 秩定理：对 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，有：

$
\text{rank}(A) + \dim { x \in \mathbb{F}^{n \times 1} \mid Ax = 0_{\mathbb{F}^{m \times 1}} } = n
$

（即矩阵的秩 + 对应线性映射的零化度 = 定义域维数 $n$）。

示例

设 $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$，$T(x,y,z,w) = (x + y, y + z, z + w)$，对应的矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$：

$\dim V = 4$（$\mathbb{R}^4$ 的维数）；
$\text{Null } T$：解 $Ax = 0$，得 $x = w$，$y = -w$，$z = w$，故 $\dim (\text{Null } T) = 1$；
$\text{Range } T$：$A$ 的列向量线性无关（秩为 3），故 $\dim (\text{Range } T) = 3$；
验证定理：$4 = 1 + 3$，符合零化度 - 秩定理。

英文术语

线性映射基本定理：Fundamental Theorem of Linear Maps
零化度 - 秩定理：Nullity-Rank Theorem
零化度：Nullity（记为 $\dim \text{Null } T$）

2.7 可逆线性映射（Invertible Linear Map）

核心定义

设 $T \in L(V, W)$，若存在 $S \in L(W, V)$，使得：

$S \circ T = I_V$（$S$ 是 $T$ 的左逆（Left Inverse））；
$T \circ S = I_W$（$S$ 是 $T$ 的右逆（Right Inverse））；

则称 $T$ 是可逆的（Invertible），记 $S = T^{-1}$（$T$ 的逆映射（Inverse Map））。

常见示例

基坐标映射的逆：2.2 中提到的基坐标映射 $[\cdot]_B: V \to \mathbb{F}^n$ 是可逆的，其逆映射为 $\mathbb{F}^n \to V$，将坐标向量 $(a_1, \dots, a_n)$ 映为 $a_1v_1 + \dots + a_nv_n$（$B = {v_1, \dots, v_n}$ 是 $V$ 的基）；
多项式系数映射：定义 $T: \mathbb{P}_n(\mathbb{F}) \to \mathbb{F}^{n+1}$（$\mathbb{P}n(\mathbb{F})$ 是 $\mathbb{F}$ 上次数不超过 $n$ 的多项式空间），$T\left( \sum{i=0}^n a_i x^i \right) = (a_0, a_1, \dots, a_n)$，则 $T$ 可逆，逆映射为 $(a_0, \dots, a_n) \mapsto a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$。

关键定理（Key Theorems）

逆映射的线性性：若 $T \in L(V, W)$ 可逆，则 $T^{-1} \in L(W, V)$（即逆映射也是线性的）；
可逆与双射的等价性：$T \in L(V, W)$ 可逆，当且仅当 $T$ 是双射（Bijective）（即同时是单射和满射）。

示例

设 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y) = (x + 2y, 3x + 4y)$，验证其可逆性：

双射验证：对应的矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}$，行列式 $\det A = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$，故 $A$ 可逆，因此 $T$ 是双射，进而可逆；
求逆映射：$A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \ -3 & 1\end{pmatrix}$，故 $T^{-1}(x,y) = \left( -2x + y, \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y \right)$，验证：$T(T^{-1}(x,y)) = (x,y)$，$T^{-1}(T(x,y)) = (x,y)$。

英文术语

可逆线性映射：Invertible Linear Map
逆映射：Inverse Map（记为 $T^{-1}$）
双射：Bijective（既是单射也是满射）

2.8 同构向量空间（Isomorphic Vector Spaces）

核心定义

若存在可逆线性映射 $T: V \to W$，则称 $V$ 与 $W$ 是同构的（Isomorphic），记为 $V \cong W$。

同构的本质是 “向量空间结构相同”—— 尽管元素形式不同（如多项式和坐标向量），但线性运算的规律完全一致。

关键定理（Key Theorem）

有限维向量空间同构的充要条件：若 $V$ 和 $W$ 均为有限维向量空间，则 $V \cong W$ 当且仅当 $\dim V = \dim W$。
注意：该结论对无限维向量空间不成立。例如，$\mathbb{P}(\mathbb{F})$（$\mathbb{F}$ 上所有多项式构成的空间）和 $C^\infty(\mathbb{R})$ 均为无限维，但不存在可逆线性映射连接它们。

常见同构示例

$\mathbb{P}_n(\mathbb{F}) \cong \mathbb{F}^{n+1}$（如 2.7 中的多项式系数映射，$\dim \mathbb{P}_n(\mathbb{F}) = n+1 = \dim \mathbb{F}^{n+1}$）；
$\mathbb{F}^{m \times n} \cong \mathbb{F}^{n \times m} \cong \mathbb{F}^{mn}$（矩阵空间与列向量空间同构，$\dim \mathbb{F}^{m \times n} = mn = \dim \mathbb{F}^{mn}$）；

例：$\mathbb{F}^{2 \times 2}$（2×2 矩阵空间）与 $\mathbb{F}^4$ 同构，映射可定义为 $\begin{pmatrix}a & b \ c & d\end{pmatrix} \mapsto (a,b,c,d)$。

英文术语

同构向量空间：Isomorphic Vector Spaces（记为 $V \cong W$）

2.9 有限维空间中可逆、单射、满射的等价性

核心结论

设 $V$ 和 $W$ 均为有限维向量空间，且 $\dim V = \dim W = n$，则对任意 $T \in L(V, W)$，以下三个条件等价：

$T$ 是可逆的；
$T$ 是单射的；
$T$ 是满射的。

证明思路（基于零化度 - 秩定理）

1 ⇒ 2 和 1 ⇒ 3：可逆映射必为双射（2.7 定理 2），故单射且满射；
2 ⇒ 3：$T$ 单射 ⇒ $\dim \text{Null } T = 0$（2.5 定理 2），由零化度 - 秩定理：$\dim \text{Range } T = \dim V - 0 = n = \dim W$ ⇒ $T$ 满射（2.5 定理 3）；
3 ⇒ 2：$T$ 满射 ⇒ $\dim \text{Range } T = \dim W = n$，由零化度 - 秩定理：$\dim \text{Null } T = \dim V - n = 0$ ⇒ $T$ 单射（2.5 定理 2）；
2 和 3 ⇒ 1：双射必可逆（2.7 定理 2）。

示例

设 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$，$T(x,y,z) = (x + y, y + z, z + x)$，对应的矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$：

$\dim V = \dim W = 3$；
单射验证：$\det A = 2 \neq 0$ ⇒ $Ax = 0$ 只有零解 ⇒ $\text{Null } T = {0_V}$ ⇒ $T$ 单射；
由等价性，$T$ 必满射且可逆，其逆映射对应 $A^{-1}$。

注意

该等价性仅对有限维空间成立！例如，对无限维空间 $V = \mathbb{P}(\mathbb{F})$（所有多项式），定义 $T: V \to V$ 为 $T(f(x)) = x f(x)$（多项式乘以 $x$）：

$T$ 是单射（若 $x f(x) = x g(x)$，则 $f(x) = g(x)$）；
但 $T$ 不是满射（例如 $1 \in V$，不存在 $f(x)$ 使 $x f(x) = 1$），故 $T$ 不可逆。

英文术语

等价性：Equivalence
有限维向量空间：Finite-Dimensional Vector Space

2.10 矩阵的行与列表示（Row & Column Notation of Matrices）

核心符号

设 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$（$m$ 行 $n$ 列矩阵）：

$A_{i,\cdot}$：表示 $A$ 的第行（** ****-th Row）**，是 $\mathbb{F}^n$ 中的行向量；
$A_{\cdot,j}$：表示 $A$ 的第列（** ****-th Column）**，是 $\mathbb{F}^m$ 中的列向量。

矩阵乘法的关键性质

设 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，$B \in \mathbb{F}^{n \times l}$，则矩阵乘积 $AB \in \mathbb{F}^{m \times l}$ 满足：

行的性质：$(AB){i,\cdot} = A{i,\cdot} B$（即 $AB$ 的第 $i$ 行 = $A$ 的第 $i$ 行乘以 $B$）；
列的性质：$(AB){\cdot,j} = A B{\cdot,j}$（即 $AB$ 的第 $j$ 列 = $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列）。

示例

设 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$（2×3 矩阵），$B = \begin{pmatrix}7 & 8 \ 9 & 10 \ 11 & 12\end{pmatrix}$（3×2 矩阵）：

$A_{1,\cdot} = (1, 2, 3)$，则 $(AB){1,\cdot} = A{1,\cdot} B = (1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11, 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12) = (58, 64)$；
$B_{\cdot,2} = \begin{pmatrix}8 \ 10 \ 12\end{pmatrix}$，则 $(AB){\cdot,2} = A B{\cdot,2} = \begin{pmatrix}1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 \ 4 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}64 \ 154\end{pmatrix}$；
直接计算 $AB = \begin{pmatrix}58 & 64 \ 139 & 154\end{pmatrix}$，与上述结果一致。

英文术语

矩阵的行：Row of a Matrix（记为 $A_{i,\cdot}$）
矩阵的列：Column of a Matrix（记为 $A_{\cdot,j}$）
矩阵乘法：Matrix Multiplication

2.11 线性映射的矩阵表示（Matrix Representation of Linear Maps）

背景与符号

设 $U, V, W$ 为有限维向量空间，基分别为：

$A = {u_1, u_2, \dots, u_l}$（$\dim U = l$）；
$B = {v_1, v_2, \dots, v_n}$（$\dim V = n$）；
$C = {w_1, w_2, \dots, w_m}$（$\dim W = m$）。

对任意线性映射 $T \in L(V, W)$，我们希望用一个矩阵来 “表示” 它，这个矩阵称为 $T$ 在基 $B$（定义域基）和 $C$（值域基）下的矩阵表示（Matrix Representation），记为 $[T]_B^C$。

矩阵表示的定义

$[T]_B^C \in \mathbb{F}^{m \times n}$ 的构造规则：

对 $V$ 的基向量 $v_j$（$j = 1, \dots, n$），计算 $T(v_j)$，并将其表示为 $W$ 的基 $C$ 的线性组合：

$
T(v_j) = a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + \dots + a_{mj}w_m
$

取上述组合的系数作为 $[T]B^C$ 的第 $j$ 列，即 $[T]B^C = \begin{pmatrix}a{11} & \dots & a{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}$。

用矩阵乘法可简洁表示为：

$
(T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)) = (w_1, w_2, \dots, w_m) [T]_B^C
$

核心公式与性质

向量像的坐标公式：对任意 $v \in V$，设 $[v]_B$ 是 $v$ 在基 $B$ 下的坐标向量（$\mathbb{F}^n$ 中的列向量），$[T(v)]_C$ 是 $T(v)$ 在基 $C$ 下的坐标向量（$\mathbb{F}^m$ 中的列向量），则：

$ [T(v)]_C = [T]_B^C [v]_B
$

（即 “像的坐标 = 线性映射的矩阵表示 × 原向量的坐标”）。

复合映射的矩阵表示：设 $S \in L(U, V)$（$U$ 到 $V$ 的线性映射），则复合映射 $T \circ S \in L(U, W)$ 在基 $A$（$U$ 的基）和 $C$（$W$ 的基）下的矩阵表示为：

$ [T \circ S]_A^C = [T]_B^C [S]_A^B
$

（即 “复合映射的矩阵 = 后一个映射的矩阵 × 前一个映射的矩阵”）。

特别地，若 $U = V$（即 $S, T \in L(V)$），且取同一组基 $A = B = C$，则：

$ [T \circ S]_A^A = [T]_A^A [S]_A^A
$

（即线性算子复合的矩阵等于矩阵乘积）。

基变换公式：设 $B’ = {v_1’, \dots, v_n’}$ 是 $V$ 的另一组基，$I = id_V$（恒等算子），则：

过渡矩阵：$[I]_B^{B’}$ 是基 $B$ 到 $B’$ 的过渡矩阵（Change of Basis Matrix），满足 $(v_1, \dots, v_n) = (v_1’, \dots, v_n’) [I]_B^{B’}$；
基变换公式：$T$ 在基 $B’$ 下的矩阵表示为：

$ [T]_{B’}^{B’} = [I]_B^{B’} [T]B^B [I]{B’}^{B}
$

过渡矩阵的逆：$[I]B^{B’} = ([I]{B’}^{B})^{-1}$（因恒等算子的矩阵表示在同一基下是单位矩阵，$[I]{B’}^{B’} = [I \circ I]{B’}^{B’} = [I]B^{B’} [I]{B’}^{B}$，故 $[I]B^{B’}$ 与 $[I]{B’}^{B}$ 互为逆矩阵）。

矩阵表示与线性映射空间的同构：映射 $\Phi: L(V, W) \to \mathbb{F}^{m \times n}$，$\Phi(T) = [T]_B^C$ 是可逆线性映射（即同构），因此：

$
\dim L(V, W) = \dim \mathbb{F}^{m \times n} = m \times n
$

重要应用

$T \in L(V)$ 可逆，当且仅当对 $V$ 的任意（或某一组）基 $B$，$[T]_B^B$ 是可逆矩阵（因可逆线性映射的矩阵表示必可逆，反之亦然）。

示例：反射算子的矩阵表示

设 $V = \mathbb{R}^2$，基 $B = {\beta_1 = (2,1), \beta_2 = (-1,2)}$，$T$ 是关于 $\beta_1$ 张成的直线（即 $y = \frac{1}{2}x$）的反射算子，求 $[T^2]_E^E$（$E = {(1,0), (0,1)}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的标准基）：

反射的几何意义：反射算子 $T$ 作用两次后，向量回到原位置，即 $T^2 = I_V$（恒等算子）；
恒等算子在任意基下的矩阵表示都是单位矩阵，故 $[T^2]_E^E = [I_V]_E^E = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$；
几何意义：反射两次相当于 “无操作”，向量保持不变。

英文术语

矩阵表示：Matrix Representation（记为 $[T]_B^C$）
过渡矩阵：Change of Basis Matrix（记为 $[I]_B^{B’}$）
坐标向量：Coordinate Vector（记为 $[v]_B$）

2.12 投影算子（Projection Operator）

核心定义

设 $P \in L(V)$（线性算子），若满足 $P^2 = P$（即 $P \circ P = P$），则称 $P$ 为投影算子（Projection Operator）。

关键定理：投影与直和分解

对任意投影算子 $P \in L(V)$，有 $V = \text{Null } P \oplus \text{Range } P$（即 $V$ 是 $\text{Null } P$ 和 $\text{Range } P$ 的直和（Direct Sum）），且该结论对无限维空间仍成立。

证明

分解存在性：对任意 $v \in V$，可分解为 $v = (I_V - P)v + Pv$：

验证 $(I_V - P)v \in \text{Null } P$：$P((I_V - P)v) = Pv - P^2v = Pv - Pv = 0_V$；
验证 $Pv \in \text{Range } P$：显然（因 $Pv$ 是 $P$ 作用于 $v$ 的结果）。

交为零空间：若 $u \in \text{Null } P \cap \text{Range } P$，则：

由 $u \in \text{Range } P$，存在 $v \in V$ 使 $u = Pv$；
由 $u \in \text{Null } P$，得 $P(u) = 0_V$，故 $u = Pv = P^2v = P(Pv) = P(u) = 0_V$；
因此 $\text{Null } P \cap \text{Range } P = {0_V}$。

综上，$V = \text{Null } P \oplus \text{Range } P$。

投影算子的几何意义

投影算子 $P$ 本质是 “ 将 $V$ 中的向量投影到 $\text{Range } P$ 上，且在 $\text{Null } P$ 上的分量被消去 “。具体来说：

对任意 $v \in V$，若 $v = u + w$（其中 $u \in \text{Range } P$，$w \in \text{Null } P$），则 $P(v) = u$（仅保留 $\text{Range } P$ 中的分量）。

推论：复合算子与直和分解

设 $T \in L(V, W)$，$S \in L(W, V)$，若 $T \circ S = I_W$（即 $S$ 是 $T$ 的右逆，$T$ 是 $S$ 的左逆），则 $V = \text{Range } S \oplus \text{Null } T$。

证明（方法 1）

分解存在性：对任意 $v \in V$，分解为 $v = (I_V - S \circ T)v + (S \circ T)v$：

验证 $(I_V - S \circ T)v \in \text{Null } T$：$T((I_V - S \circ T)v) = T(v) - T(S(T(v))) = T(v) - I_W(T(v)) = 0_W$；
验证 $(S \circ T)v \in \text{Range } S$：存在 $w = T(v) \in W$ 使 $S(w) = (S \circ T)v$。

交为零空间：若 $u \in \text{Range } S \cap \text{Null } T$，则：

由 $u \in \text{Range } S$，存在 $w \in W$ 使 $u = S(w)$；
由 $u \in \text{Null } T$，得 $T(u) = 0_W$，故 $w = I_W(w) = T(S(w)) = T(u) = 0_W$，因此 $u = S(0_W) = 0_V$。

示例

设 $V = \mathbb{R}^3$，定义 $P(x,y,z) = (x, y, 0)$（投影到 $xy$ 平面的算子）：

验证投影性质：$P^2(x,y,z) = P(P(x,y,z)) = P(x,y,0) = (x,y,0) = P(x,y,z)$，故 $P$ 是投影算子；
$\text{Null } P = { (0,0,z) \mid z \in \mathbb{R} }$（$z$ 轴）；
$\text{Range } P = { (x,y,0) \mid x,y \in \mathbb{R} }$（$xy$ 平面）；
直和分解：$\mathbb{R}^3 = z\text{è½´} \oplus xy\text{å¹³é¢}$，符合 $V = \text{Null } P \oplus \text{Range } P$。

英文术语

投影算子：Projection Operator（记为 $P$）
直和：Direct Sum（记为 $\oplus$）

2.13 单射 / 满射与左右逆的关系（Injectivity/Surjectivity & Left/Right Inverses）

核心定理

设 $V, W$ 为有限维向量空间，$T \in L(V, W)$：

定理 1：单射与左逆的等价性

$T$ 是单射，当且仅当存在 $L \in L(W, V)$（$T$ 的左逆），使得 $L \circ T = I_V$。

左逆的唯一性：左逆唯一，当且仅当 $\dim V = \dim W$（即 $T$ 是同构）；
矩阵等价条件：$T$ 是单射，当且仅当 $T$ 在任意基 $B$（$V$ 的基）和 $C$（$W$ 的基）下的矩阵 $[T]_B^C$ 的列向量线性无关，且 $\text{rank}([T]_B^C) = \dim V$（列数）。

定理 2：满射与右逆的等价性

$T$ 是满射，当且仅当存在 $R \in L(W, V)$（$T$ 的右逆），使得 $T \circ R = I_W$。

右逆的唯一性：右逆唯一，当且仅当 $\dim V = \dim W$（即 $T$ 是同构）；
矩阵等价条件：$T$ 是满射，当且仅当 $T$ 在任意基 $B$ 和 $C$ 下的矩阵 $[T]_B^C$ 的行向量线性无关，且 $\text{rank}([T]_B^C) = \dim W$（行数）。

示例

单射与左逆：设 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$，$T(x,y) = (x, y, 0)$（单射，因 $\text{Null } T = {0_V}$）：

构造左逆 $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$L(a,b,c) = (a,b)$；
验证：$L \circ T(x,y) = L(x,y,0) = (x,y) = I_{\mathbb{R}^2}(x,y)$，故 $L$ 是 $T$ 的左逆。

满射与右逆：设 $S: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$S(x,y,z) = (x,y)$（满射，因 $\text{Range } S = \mathbb{R}^2$）：

构造右逆 $R: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$，$R(a,b) = (a,b,0)$；
验证：$S \circ R(a,b) = S(a,b,0) = (a,b) = I_{\mathbb{R}^2}(a,b)$，故 $R$ 是 $S$ 的右逆。

注意

对无限维空间，上述等价性不成立。例如，$T: \mathbb{P}(\mathbb{F}) \to \mathbb{P}(\mathbb{F})$，$T(f(x)) = x f(x)$（单射但不满射），不存在左逆（因若存在 $L$ 使 $L \circ T = I_{\mathbb{P}(\mathbb{F})}$，则 $L(x f(x)) = f(x)$，但 $L(1)$ 无定义，矛盾）。

英文术语

左逆：Left Inverse（记为 $L$）
右逆：Right Inverse（记为 $R$）
列线性无关：Linearly Independent Columns
行线性无关：Linearly Independent Rows

可选主题（Optional Topics）

（本部分不要求掌握，供拓展学习）

2.1 积空间（Product of Vector Spaces）

定义

设 $V_1, V_2, \dots, V_n$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，其积空间定义为：

$
V_1 \times V_2 \times \dots \times V_n = { (v_1, v_2, \dots, v_n) \mid v_i \in V_i }
$

在积空间上定义 “逐项加法” 和 “逐项数乘”：

加法：$(v_1, \dots, v_n) + (w_1, \dots, w_n) = (v_1 + w_1, \dots, v_n + w_n)$；
数乘：$\lambda (v_1, \dots, v_n) = (\lambda v_1, \dots, \lambda v_n)$（$\lambda \in \mathbb{F}$）。

则积空间是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。

维度定理

若 $V_1, \dots, V_n$ 均为有限维向量空间，则：

$
\dim (V_1 \times \dots \times V_n) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dots + \dim V_n
$

证明思路：用数学归纳法。当 $n=2$ 时，取 $V_1$ 的基 $B_1$ 和 $V_2$ 的基 $B_2$，则 $B = { (u, 0) \mid u \in B_1 } \cup { (0, v) \mid v \in B_2 }$ 是 $V_1 \times V_2$ 的基，故 $\dim (V_1 \times V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$；假设 $n=k$ 时成立，可推出 $n=k+1$ 时成立。

示例

$\mathbb{F}^n = \mathbb{F}^1 \times \mathbb{F}^1 \times \dots \times \mathbb{F}^1$（$n$ 个 $\mathbb{F}^1$ 的积空间），$\dim \mathbb{F}^1 = 1$，故 $\dim \mathbb{F}^n = 1 + 1 + \dots + 1 = n$，与已知一致。

英文术语

积空间：Product of Vector Spaces（记为 $V_1 \times \dots \times V_n$）

2.2 商空间（Quotient Space）

核心定义

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，对任意 $v \in V$，定义陪集（Coset）：

$
v + U = { v + u \mid u \in U }
$

则 $V$ 关于 $U$ 的商空间定义为：

$
V/U = { v + U \mid v \in V }
$

在商空间上定义 “加法” 和 “数乘”：

加法：$(v + U) + (w + U) = (v + w) + U$；
数乘：$\lambda (v + U) = \lambda v + U$（$\lambda \in \mathbb{F}$）。

商空间的线性运算合理性

需验证良定义（Well-defined）—— 即运算结果不依赖于陪集代表元的选择：

加法良定义：若 $v_1 + U = v_1’ + U$ 且 $w_1 + U = w_1’ + U$，则 $v_1 - v_1’ \in U$ 且 $w_1 - w_1’ \in U$，因此 $(v_1 + w_1) - (v_1’ + w_1’) = (v_1 - v_1’) + (w_1 - w_1’) \in U$，故 $(v_1 + w_1) + U = (v_1’ + w_1’) + U$；
数乘良定义：若 $v_1 + U = v_1’ + U$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$，则 $v_1 - v_1’ \in U$，因此 $\lambda v_1 - \lambda v_1’ = \lambda (v_1 - v_1’) \in U$（$U$ 是子空间，对数乘封闭），故 $\lambda (v_1 + U) = \lambda v_1 + U = \lambda v_1’ + U = \lambda (v_1’ + U)$。

验证后，$V/U$ 满足向量空间的所有公理，是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。

关键性质（Key Properties）

1. 商映射（Quotient Map）

定义映射 $\pi: V \to V/U$ 为 $\pi(v) = v + U$，称 $\pi$ 为商映射，其具有以下性质：

线性性：$\pi$ 是线性映射，即 $\pi(v + w) = \pi(v) + \pi(w)$ 且 $\pi(\lambda v) = \lambda \pi(v)$；
满射性：对任意 $v + U \in V/U$，存在 $v \in V$ 使 $\pi(v) = v + U$，故 $\pi$ 是满射；
*核为子空间 *** **：$\text{Null } \pi = { v \in V \mid \pi(v) = 0_{V/U} }$，而 $0_{V/U} = 0_V + U = U$，因此 $\text{Null } \pi = { v \in V \mid v + U = U } = U$（因 $v + U = U \iff v \in U$）。

2. 商空间的维度公式

若 $V$ 是有限维向量空间（$\dim V < \infty$），$U$ 是 $V$ 的子空间，则：

$
\dim (V/U) = \dim V - \dim U
$

该公式可通过线性映射基本定理（零化度 - 秩定理） 推导：对商映射 $\pi: V \to V/U$，$\pi$ 是满射，故 $\dim \text{Range } \pi = \dim (V/U)$；又 $\text{Null } \pi = U$，故 $\dim V = \dim \text{Null } \pi + \dim \text{Range } \pi = \dim U + \dim (V/U)$，整理得 $\dim (V/U) = \dim V - \dim U$。

示例

设 $V = \mathbb{R}^3$，子空间 $U = { (a, b, 0) \mid a, b \in \mathbb{R} }$（$xy$ 平面），分析商空间 $V/U$：

陪集的几何意义：任意陪集 $v + U$ 可表示为 $(x_0, y_0, z_0) + U = { (x_0 + a, y_0 + b, z_0) \mid a, b \in \mathbb{R} }$，即平行于 $xy$ 平面、$z$ 坐标为 $z_0$ 的平面；
商空间的维度：$\dim V = 3$，$\dim U = 2$，故 $\dim (V/U) = 3 - 2 = 1$，即 $V/U$ 与 $\mathbb{R}$ 同构（因有限维空间维度相同则同构）；
商映射与线性映射关联：设 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$，$T(x, y, z) = z$，则 $\text{Null } T = U$，定义 $\bar{T}: V/U \to \mathbb{R}$ 为 $\bar{T}((x, y, z) + U) = z$，易验证 $\bar{T}$ 是良定义、线性且单射的，且 $\text{Range } \bar{T} = \mathbb{R} = \text{Range } T$，故 $V/U \cong \mathbb{R}$。

英文术语

商空间：Quotient Space（记为 $V/U$）
陪集：Coset（记为 $v + U$）
商映射：Quotient Map（记为 $\pi$）
良定义：Well-defined

2.3 线性泛函与对偶空间（Linear Functionals & Dual Spaces）

核心定义

1. 线性泛函（Linear Functional）

设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，线性泛函是从 $V$ 到数域 $\mathbb{F}$ 的线性映射，即 $\lambda \in L(V, \mathbb{F})$（此处用 $\lambda$ 区分泛函与一般线性映射，文档中也用 $\lambda, \ell$ 表示）。

2. 对偶空间（Dual Space）

$V$ 上所有线性泛函构成的集合称为 $V$ 的对偶空间，记为 $V’ = L(V, \mathbb{F})$。由于 $L(V, \mathbb{F})$ 满足向量空间的公理（加法：$(\ell_1 + \ell_2)(v) = \ell_1(v) + \ell_2(v)$；数乘：$(a\ell)(v) = a\ell(v)$，$a \in \mathbb{F}$），因此 $V’$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。

关键性质：有限维对偶空间的结构

1. 对偶基（Dual Basis）

若 $V$ 是有限维向量空间，设 $B = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ 是 $V$ 的一组基，则存在 $V’$ 的一组基 $B’ = (v_1’, v_2’, \dots, v_n’)$，满足：

$
v_i’(v_j) = \delta_{i,j} \quad (\text{Kronecker deltaç¬¦å·ï¼}\delta_{i,j}=1\text{ è¥ }i=j,\delta_{i,j}=0\text{ è¥ }i\neq j)
$

称 $B’$ 为基 $B$ 的对偶基。

2. 有限维对偶空间的同构

对有限维空间 $V$，对偶空间 $V’$ 与 $V$ 同构（$V’ \cong V$），理由：

对偶基 $B’$ 的维度与原基 $B$ 相同（均为 $n = \dim V$），故 $\dim V’ = n = \dim V$；
有限维空间维度相同则同构，因此 $V’ \cong V$。

注意：该结论对无限维空间不成立—— 无限维空间的对偶空间维度严格大于原空间，故不存在可逆线性映射连接 $V$ 与 $V’$。

二次对偶空间（Bidual Space）

1. 定义

对偶空间 $V’$ 的对偶空间称为 $V$ 的二次对偶空间，记为 $V’’ = (V’)’$（即 $V’’ = L(V’, \mathbb{F})$）。

2. $V$ 到 $V’’$ 的嵌入映射

对任意 $v \in V$，可诱导一个线性泛函 $\tilde{v} \in V’’$，定义为：

$
\tilde{v}(\ell) = \ell(v) \quad (\forall \ell \in V’)
$

该映射 $\Phi: V \to V’’$（$\Phi(v) = \tilde{v}$）具有以下性质：

线性性：$\Phi(a v_1 + b v_2) = a\Phi(v_1) + b\Phi(v_2)$，因 $\widetilde{a v_1 + b v_2}(\ell) = \ell(a v_1 + b v_2) = a\ell(v_1) + b\ell(v_2) = a\tilde{v_1}(\ell) + b\tilde{v_2}(\ell)$；
单射性：若 $\Phi(v) = 0_{V’’}$（即 $\tilde{v}(\ell) = 0$ 对所有 $\ell \in V’$ 成立），则 $v = 0_V$（反证：若 $v \neq 0_V$，可构造泛函 $\ell$ 使 $\ell(v) \neq 0$）；
有限维下的满射性：若 $V$ 有限维，则 $\dim V’’ = \dim V’ = \dim V$，单射映射必为满射，故 $\Phi$ 是同构，即 $V \cong V’’$（此时可认为 $V$ 与 $V’’$ “等同”）。

示例

设 $V = \mathbb{R}^2$，基 $B = (v_1 = (1,0), v_2 = (0,1))$（标准基）：

构造对偶基：定义 $v_1’, v_2’ \in V’$：

$v_1’(x, y) = x$（投影到第一个分量），验证 $v_1’(v_1) = 1$，$v_1’(v_2) = 0$；
$v_2’(x, y) = y$（投影到第二个分量），验证 $v_2’(v_1) = 0$，$v_2’(v_2) = 1$；

故 $B’ = (v_1’, v_2’)$ 是 $B$ 的对偶基，且 $V’ \cong \mathbb{R}^2$（因 $\dim V’ = 2 = \dim V$）。

二次对偶空间：取 $v = (2,3) \in V$，诱导泛函 $\tilde{v} \in V’’$，则对任意 $\ell = a v_1’ + b v_2’ \in V’$（$a,b \in \mathbb{R}$），有 $\tilde{v}(\ell) = \ell(v) = a \cdot 2 + b \cdot 3$，即 $\tilde{v}$ 是 $V’$ 上的线性泛函，且 $\Phi(v) = \tilde{v}$ 是同构映射。

英文术语

线性泛函：Linear Functional（记为 $\ell, \lambda \in V’$）
对偶空间：Dual Space（记为 $V’ = L(V, \mathbb{F})$）
对偶基：Dual Basis（记为 $B’ = (v_1’, \dots, v_n’)$）
二次对偶空间：Bidual Space（记为 $V’’ = (V’)’$）

2.4 对偶映射（Dual Map）

核心定义

设 $T \in L(V, W)$，定义对偶映射 $T’: W’ \to V’$ 为：

$
T’(\ell) = \ell \circ T \quad (\forall \ell \in W’)
$

即 $T’(\ell)$ 是 $V$ 上的线性泛函，作用于 $v \in V$ 时满足 $(T’(\ell))(v) = \ell(T(v))$。

基本性质（Basic Properties）

线性性：$T’ \in L(W’, V’)$（对偶映射是线性映射），验证：

加法：对 $\ell_1, \ell_2 \in W’$，$T’(\ell_1 + \ell_2) = (\ell_1 + \ell_2) \circ T = \ell_1 \circ T + \ell_2 \circ T = T’(\ell_1) + T’(\ell_2)$；
数乘：对 $a \in \mathbb{F}$，$\ell \in W’$，$T’(a\ell) = (a\ell) \circ T = a(\ell \circ T) = aT’(\ell)$；

复合的对偶：若 $T \in L(V, W)$，$S \in L(U, V)$，则 $(T \circ S)’ = S’ \circ T’$（复合映射的对偶等于对偶映射的反向复合）；
数乘的对偶：若 $a \in \mathbb{F}$，$T \in L(V, W)$，则 $(aT)’ = aT’$。

关键定理：对偶映射与原映射的关联性

定理 1：单射与满射的对偶关系

若 $V, W$ 是有限维向量空间，则：

$T \in L(V, W)$ 是单射，当且仅当 $T’ \in L(W’, V’)$ 是满射；
$T \in L(V, W)$ 是满射，当且仅当 $T’ \in L(W’, V’)$ 是单射。

定理 2：二次对偶映射与嵌入映射的关系

对任意 $v \in V$，$T \in L(V, W)$，有 $\widetilde{T(v)} = T’’(\tilde{v})$，其中 $T’’ = (T’)’$ 是 $T’$ 的对偶映射（二次对偶映射），$\tilde{v} \in V’’$、$\widetilde{T(v)} \in W’’$ 是嵌入映射诱导的泛函。

证明：对任意 $\ell \in W’$，有：

$
\widetilde{T(v)}(\ell) = \ell(T(v)) = (T’(\ell))(v) = \tilde{v}(T’(\ell)) = (T’’(\tilde{v}))(\ell)
$

因 $\ell$ 是任意的，故 $\widetilde{T(v)} = T’’(\tilde{v})$。

定理 3：对偶映射的矩阵表示

设 $V, W$ 是有限维空间，$B = (v_1, \dots, v_n)$ 是 $V$ 的基，$C = (w_1, \dots, w_m)$ 是 $W$ 的基，$B’ = (v_1’, \dots, v_n’)$、$C’ = (w_1’, \dots, w_m’)$ 分别是 $B$、$C$ 的对偶基，则：

$ [T’]_{C’}^B = \left( [T]_B^C \right)^\top
$

即对偶映射 $T’$ 在对偶基下的矩阵表示，是原映射 $T$ 在原基下矩阵表示的转置（Transpose）。

证明：设 $[T]B^C = (a{i,j})$（即 $T(v_j) = \sum_{k=1}^m a_{k,j} w_k$），$[T’]{C’}^B = (b{k,l})$（即 $T’(w_i’) = \sum_{k=1}^n b_{k,i} v_k’$）。对任意 $v_l \in B$，计算两边作用于 $v_l$ 的结果：

左边（LHS）：$T’(w_i’)(v_l) = (w_i’ \circ T)(v_l) = w_i’(T(v_l)) = w_i’(\sum_{k=1}^m a_{k,l} w_k) = a_{i,l}$（因 $w_i’(w_k) = \delta_{i,k}$）；
右边（RHS）：$\left( \sum_{k=1}^n b_{k,i} v_k’ \right)(v_l) = \sum_{k=1}^n b_{k,i} v_k’(v_l) = b_{l,i}$（因 $v_k’(v_l) = \delta_{k,l}$）；

故 $a_{i,l} = b_{l,i}$，即 $[T’]_{C’}^B = \left( [T]_B^C \right)^\top$。

示例

设 $V = \mathbb{R}^2$，$W = \mathbb{R}^3$，基 $B = (v_1=(1,0), v_2=(0,1))$（$V$ 的标准基），$C = (w_1=(1,0,0), w_2=(0,1,0), w_3=(0,0,1))$（$W$ 的标准基），线性映射 $T: V \to W$ 定义为 $T(v_1) = w_1 + 2w_2$，$T(v_2) = 3w_2 + 4w_3$：

原映射的矩阵表示：$[T]_B^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 3 \ 0 & 4 \end{pmatrix}$（第 $j$ 列是 $T(v_j)$ 在 $C$ 下的坐标）；
对偶基与对偶映射的矩阵：$B’ = (v_1’, v_2’)$（$v_1’(x,y)=x$，$v_2’(x,y)=y$），$C’ = (w_1’, w_2’, w_3’)$（$w_1’(x,y,z)=x$，$w_2’(x,y,z)=y$，$w_3’(x,y,z)=z$）；

对偶映射 $T’$ 的矩阵是 $[T]B^C$ 的转置，即 $[T’]{C’}^B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$；

验证对偶映射：取 $\ell = w_1’ + w_2’ + w_3’ \in W’$，则 $T’(\ell) = \ell \circ T$，作用于 $v_1=(1,0)$：$T’(\ell)(v_1) = \ell(T(v_1)) = \ell(w_1 + 2w_2) = 1 + 2 + 0 = 3$；而 $T’(\ell)$ 在 $B’$ 下的坐标是 $[T’]_{C’}^B \cdot \ell$ 在 $C’$ 下的坐标（$\ell$ 的坐标是 $(1,1,1)$），即 $\begin{pmatrix}1&2&0\0&3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\1\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\7\end{pmatrix}$，故 $T’(\ell) = 3v_1’ + 7v_2’$，作用于 $v_1$ 得 $3 \times 1 + 7 \times 0 = 3$，与直接计算一致。

英文术语

对偶映射：Dual Map（记为 $T’ \in L(W’, V’)$）
二次对偶映射：Bidual Map（记为 $T’’ = (T’)’$）
矩阵的转置：Transpose of a Matrix（记为 $A^\top$）

2.5 对偶空间的应用：积空间与商空间的对偶

1. 积空间的对偶（Dual of Product Spaces）

设 $V_1, V_2, \dots, V_n$ 是向量空间，其积空间的对偶与各空间对偶的积空间同构，即：

$
(V_1 \times V_2 \times \dots \times V_n)’ \cong V_1’ \times V_2’ \times \dots \times V_n’
$

同构映射构造：

正向映射：对任意 $f \in (V_1 \times \dots \times V_n)’$，定义 $f_i = f|{0{V_1} \times \dots \times V_i \times \dots \times 0_{V_n}}$（即 $f_i(v_i) = f(0, \dots, v_i, \dots, 0)$），则 $f \mapsto (f_1, f_2, \dots, f_n)$；
反向映射：对任意 $(f_1, \dots, f_n) \in V_1’ \times \dots \times V_n’$，定义 $f(v_1, \dots, v_n) = f_1(v_1) + \dots + f_n(v_n)$，则 $(f_1, \dots, f_n) \mapsto f$。

可验证该映射是线性、单射且满射的，故为同构。

2. 商空间的对偶（Dual of Quotient Spaces）

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，定义 $U$ 的零化子（Annihilator） 为：

$
U^0 = { \ell \in V’ \mid \ell|_U = 0 }
$

即 $V’$ 中所有在 $U$ 上恒为零的线性泛函构成的集合（易证 $U^0$ 是 $V’$ 的子空间）。则商空间的对偶与零化子的商空间同构，即：

$
(V/U)’ \cong V’/U^0
$

3. 零化子与对偶映射的维度关系

若 $V, W$ 是有限维空间，$T \in L(V, W)$，$U$ 是 $V$ 的子空间，则有以下维度公式：

$\dim U^0 = \dim V - \dim U$（零化子的维度等于原空间维度减去子空间维度）；
$\text{Null } T’ = (\text{Range } T)^0$（对偶映射的零空间等于原映射值域的零化子）；
$\dim \text{Null } T’ = \dim W - \dim \text{Range } T$（结合 1 和 2，因 $\dim (\text{Range } T)^0 = \dim W - \dim \text{Range } T$）；
$\dim \text{Range } T = \dim \text{Range } T’$（原映射的值域维度等于对偶映射的值域维度）。

重要应用：矩阵的列秩等于行秩

对任意矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，定义线性映射 $T: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 为 $T(v) = Av$，则：

$A$ 的列秩（Column Rank） 是 $\dim \text{Col}(A) = \dim \text{Range } T$；
$A$ 的行秩（Row Rank） 是 $\dim \text{Row}(A) = \dim \text{Col}(A^\top)$（行秩等于转置矩阵的列秩）；
由定理 3（对偶映射的矩阵是原矩阵的转置），$\text{Range } T’ \cong \text{Col}(A^\top)$，故 $\dim \text{Range } T’ = \dim \text{Col}(A^\top)$；
由公式 4，$\dim \text{Range } T = \dim \text{Range } T’$，因此 $\dim \text{Col}(A) = \dim \text{Col}(A^\top)$，即列秩 = 行秩。

示例

设 $V = \mathbb{R}^3$，子空间 $U = { (a, b, 0) \mid a, b \in \mathbb{R} }$（$xy$ 平面）：

*零化子 *** **：$U^0 = { \ell \in V’ \mid \ell(a, b, 0) = 0 \text{ å¯¹ææ }a, b \in \mathbb{R} }$。设 $\ell(x, y, z) = px + qy + rz$（$V’ \cong \mathbb{R}^3$，泛函对应坐标 $(p, q, r)$），则 $\ell(a, b, 0) = pa + qb = 0$ 对所有 $a, b$ 成立，故 $p = q = 0$，因此 $U^0 = { (0, 0, r) \mid r \in \mathbb{R} }$，$\dim U^0 = 1 = 3 - 2 = \dim V - \dim U$，符合公式 1；
矩阵的列秩与行秩：取 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6\end{pmatrix}$，列向量为 $(1,3,5)^\top, (2,4,6)^\top$，列秩为 2；行向量为 $(1,2), (3,4), (5,6)$，行秩为 2，故列秩 = 行秩，符合结论。

英文术语

零化子：Annihilator（记为 $U^0$）
列秩：Column Rank（记为 $\dim \text{Col}(A)$）
行秩：Row Rank（记为 $\dim \text{Row}(A)$）

（注：文档部分内容可能由 AI 生成）

线性代数讲义：线性映射（Linear Maps）

2.1 线性映射的定义（Definition of Linear Map）

核心概念

英文术语

2.2 线性映射的例子（Examples of Linear Maps）

1. 零映射（Zero Map）

2. 恒等映射（Identity Map）

3. 微分映射（Differentiation Map）

4. 赋值映射（Evaluation Map）

5. 积分映射（Integration Map）

6. 矩阵乘法映射（Matrix Multiplication Map）

7. 基坐标映射（Basis Coordinate Map）

重要备注（Key Remarks）

2.3 线性映射空间 $L(V, W)$ 与线性算子（Linear Operator）

核心定义

关键性质（Key Properties）

英文术语

2.4 线性映射的复合与多项式（Composition & Polynomial of Linear Maps）

1. 线性映射的复合（Composition of Linear Maps）

定义

关键性质

2. 线性算子的多项式（Polynomial of a Linear Operator）

定义

示例

英文术语

2.5 零空间与值域（Null Space & Range）

核心定义

关键定理（Key Theorems）

重要应用：$\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 的线性映射与矩阵

示例

英文术语

2.6 线性映射基本定理（零化度 - 秩定理）（Fundamental Theorem of Linear Maps / Nullity-Rank Theorem）

核心定理

证明思路

重要推论（Corollaries）

示例

英文术语

2.7 可逆线性映射（Invertible Linear Map）

核心定义

常见示例

关键定理（Key Theorems）

示例

英文术语

2.8 同构向量空间（Isomorphic Vector Spaces）

核心定义

关键定理（Key Theorem）

常见同构示例

英文术语

2.9 有限维空间中可逆、单射、满射的等价性

核心结论

证明思路（基于零化度 - 秩定理）

示例

注意

英文术语

2.10 矩阵的行与列表示（Row & Column Notation of Matrices）

核心符号

矩阵乘法的关键性质

示例

英文术语

2.11 线性映射的矩阵表示（Matrix Representation of Linear Maps）

背景与符号

矩阵表示的定义

核心公式与性质

重要应用

示例：反射算子的矩阵表示

英文术语

2.12 投影算子（Projection Operator）

核心定义

关键定理：投影与直和分解

证明

投影算子的几何意义

更多性质

推论：复合算子与直和分解

证明（方法 1）

示例

英文术语

2.13 单射 / 满射与左右逆的关系（Injectivity/Surjectivity & Left/Right Inverses）

核心定理

定理 1：单射与左逆的等价性

定理 2：满射与右逆的等价性